Adquisición y Procesamiento de Señales Biomédicas en Tecnologías de Borde

Ingeniería Biomédica

APSB

Introducción

La Transformada de Fourier es una herramienta matemática fundamental que permite descomponer una señal en sus componentes de frecuencia. En términos simples, transforma una señal del dominio del tiempo (cómo varía en el tiempo) al dominio de la frecuencia (qué frecuencias contiene).

En procesamiento de señales, la transformada de Fourier tiene aplicaciones vastas: análisis de audio, imágenes, comunicaciones y señales biomédicas. En particular, para señales fisiológicas como las electromiográficas (EMG), la representación en frecuencia es muy útil.

Este documento explora los fundamentos avanzados de la transformada de Fourier en su versión continua y discreta, la definición y cálculo de la Transformada Discreta de Fourier (DFT), y el algoritmo eficiente conocido como Transformada Rápida de Fourier (FFT). Finalmente, aplicaremos estos conceptos al análisis de señales EMG para identificar frecuencias predominantes y filtrar ruido, con ejemplos en Python que ilustran paso a paso la implementación.

Fundamentos Matemáticos

Transformada de Fourier Continua

La Transformada de Fourier continua de una señal \(x(t)\) se define como:

\[ X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)\, e^{-j\,\omega\,t}\,dt. \]

Su inversa se expresa como:

\[ x(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} X(\omega)\, e^{\,j\,\omega\,t}\,d\omega. \]

Esta transformación nos permite analizar la frecuencia de una señal continua.

Transformada Discreta de Fourier (DFT)

La Transformada Discreta de Fourier (DFT) de una señal discreta de longitud \(N\) se define como:

\[ X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \, e^{-j rac{2\pi}{N} k\,n}, \quad k = 0,1,\dots,N-1. \]

Su inversa es:

\[ x[n] = rac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} X[k] \, e^{\,j rac{2\pi}{N} k\,n}, \quad n = 0,1,\dots,N-1. \]

Implementación en Python

import cmath, math

def dft(x):
    """Calcula la Transformada Discreta de Fourier (DFT)"""
    N = len(x)
    X = []
    for k in range(N):
        s = 0+0j  
        for n in range(N):
            angle = -2 * math.pi * k * n / N
            s += x[n] * cmath.exp(1j * angle)
        X.append(s)
    return X

# Ejemplo
x = [1, 1, 1, 1]
X = dft(x)
print([round(X.real, 3)+round(X.imag, 3)*1j for X in X])

[(4+0j), (-0+0j), 0j, 0j]

Transformada Rápida de Fourier (FFT)

La Transformada Rápida de Fourier (FFT) reduce la complejidad computacional de la DFT de \(O(N^2)\) a \(O(N\log N)\) mediante el algoritmo de la mariposa.

Implementación de FFT en Python

def fft_recursive(x):
    """Calcula la FFT usando recursión"""
    N = len(x)
    if N <= 1:
        return x.copy()
    even = fft_recursive(x[0::2])
    odd  = fft_recursive(x[1::2])
    X = [0]*N
    for k in range(N//2):
        exp_factor = cmath.exp(-2j * math.pi * k / N)
        X[k] = even[k] + exp_factor * odd[k]
        X[k + N//2] = even[k] - exp_factor * odd[k]
    return X

# Prueba con un ejemplo
x = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]
X_fft = fft_recursive(x)
print(X_fft)

[(28+0j), (-4+9.65685424949238j), (-4+4j), (-4+1.6568542494923797j), (-4+0j), (-3.9999999999999996-1.6568542494923797j), (-3.9999999999999996-4j), (-3.9999999999999987-9.65685424949238j)]

Aplicaciones en EMG

Las señales EMG tienen un espectro que abarca desde pocos Hz hasta unos cientos de Hz. La FFT permite identificar frecuencias dominantes y eliminar ruido, como la interferencia de la red eléctrica a 50 Hz.

Detección de Frecuencia Dominante en EMG

Frecuencia dominante estimada: 50.0 Hz

Conclusión

Este informe revisó la Transformada de Fourier y su aplicación en señales EMG, destacando la FFT para análisis espectral y filtrado de ruido. La FFT se emplea para:

• Identificar frecuencias dominantes en señales musculares.
• Filtrar ruido de red en 50/60 Hz.
• Monitorear la fatiga muscular mediante análisis espectral.

Gracias a su eficiencia computacional, la FFT es una herramienta esencial en el procesamiento de señales fisiológicas.